کیمیا ترابی ۴

برهان: فرض می‌‌کنیم عدد صحیح مثبتی مانند x وجود دارد که نمی‌توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. مجموعهٔ A را به این شکل تعریف می‌‌کنیم: 
«مجموعه n‌های عضو اعداد طبیعی به طوریکه 1A مخالف تهی است زیرا x عضوی از A است. پس بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی A عضو ابتدا دارد.

فرض می‌کنیم m ابتدای A باشد (یعنی m عضوی از A است و در نتیجه قابل تجزیه به اعداد اول هم نیست). بنابراین m اول نیست پس عددی مرکب است یعنی:

m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m

بدیهی است که d1 و d2 عضو A نیستند زیرا از m کوچک‌ترند لذا هر دو تجزیه‌پذیرند. بنابراین:

d1 = p1 * p2 * ... * pk

d2 = q1 * q2 * ... * qs

به طوری که p‌ها و q‌ها اول هستند. در نتیجه:

m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs